Osamäärän integrointi

Osamäärät integroidaan pääsääntöisesti potenssifunktion integraalikaavalla. Muista, että ne jakautuvat usein kahteen haaraan, kuten aiemmin laskettu integraali:

Tälläiset osamäärän integraalit saadaan laskettua tutuilla menetelmillä kaikissa muissa tapauksissa paitsi silloin, kun nimittäjässä on ensimmäinen potenssi. Muistamme derivoinnista, että luonnollisen logaritmin derivaatta antaa funktion 1/x, tästä seuraa

Itseisarvomerkit logaritmin sisällä varmistavat, että tulos on määritelty samassa joukossa kuin integroitava funktiokin (eli x saa kaikki arvot paitsi arvon 0).

Jos alakerrassa on pelkän x:n sijasta jokin funktio, täytyy sen sisäfunktion derivaatan jälleen löytyä integraalin sisältä. Muuten laskukaava on sama

Funktion nollakohdat täytyy poistaa määrittelyalueesta. Tästä syystä meillä on paloittain määritelty funktio, jonka eri paloihin tarvitsemme omat integrointivakiot.

Yksinkertaisin esimerkki tästä on

Esimerkki 1: Integroi

Jälleen jälkimmäisessä haarassa logaritmin sisällä oleva funktio on positiivinen (eksponenttifunktio on aidosti kasvava), joten itseisarvomerkit voidaan jättää pois.

Esimerkki 2: Olkoon x välillä

Laske tangentin integraali

Annetussa alueessa cos(x) on positiivinen, joten nimittäjällä ei ole nollakohtia. Lisäksi tiedetään, että -sin(x) on kosinin derivaatta joten

Jos välille osuisi nimittäjän nollakohtia, tulisi integraalifunktiosta jälleen paloittain määritelty. Tangenttia integroitaessa täytyy siis olla erityisen varovainen integrointialueen suhteen.