2. asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, jossa on yhdessä termissä muuttujan toinen potenssi. Kaikki toisen asteen yhtälöt ovat muotoa

missä a on toisen asteen termin kerroin, b on ensimmäisen asteen termin kerroin ja c on vakiotermi.

Esimerkki 1

Tarkastellaan ensin vaillinnaista toisen asteen yhtälöä, josta puuttuu ensimmäisen asteen termi, eli b=0.

Tulon nollasääntö

Kertolaskun tulo on nolla jos ja vain jos yksi tai useampi tulon tekijöistä on nolla

Esimerkki 2

Toinen vaillinnainen toisen asteen yhtälö on sellainen, josta puuttuu vakiotermi, eli c=0.

Ratkaisukaava

Täydellisessä toisen asteen yhtälössä tarvitsemme ratkaisukaavaa. Eli kaikki kertoimet a, b ja c on erisuuria kuin 0.

Esimerkki 3

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö käyttäen kaavaa

Kerätään kertoimet ja muistetaan, että etumerkki kuuluu mukaan lukuun

a=1, b=-2 ja c=-8

sijoitetaan kaavaan

Ratkaisut ovat siis x=-2 tai x=4

Neliöksi täydentäminen

Toisen asteen yhtälö voidaan myös ratkaista neliöksi täydentämällä. Eli muokataan yhtälön vasemmalle puolelle binomin neliö.

Esimerkki 4

Muokataan yhtälö siten, että vasemmalla puolella on binomin neliö

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Toisen asteen termin kerroin a määrää aukeaako paraabeli ylös- vai alaspäin. Kun a>0 paraabeli aukeaa ylöspäin. Kun a<0 paraabeli aukeaa alaspäin. Mikäli a=0, kyseessä ei ole toisen asteen polynomifunktio, koska toisen asteen termiä ei olisi.

Alapuolella on funktion f kuvaaja. Kuvaaja leikkaa x-akselin kohdissa x=-1 ja x=5. Nämä ovat funktion nollakohdat, jotka ratkaisimme laskemalla esimerkissä 4.

Voit muuttaa liukusäätimillä kertoimien a, b ja c arvoja. Näiden alapuolella näet toisen asteen funktion ja koordinaatistossa tämän kuvaajan.

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävänantoa nähdäksesi vastauksen

1. Määrää vakio a siten, että yhtälön juuret ovat toistensa käänteislukuja.

Kevät 1971 (Lyhyt matematiikka)

a=-3/5

2. Etsi suurempi niistä kahdesta luvusta, joiden summa ja erotus ovat seuraavan ekvatsionin (yhtälön) juurina

Kevät 1897

3. Muodosta se toisen asteen ekvatsioni (yhtälö) , jonka juurina ovat (alapuolisen) ekvatsionin juurten erotukset.

Syksy 1897

Juurten erotukset -1/6 ja 1/6

4. Yhtälön (alapuolella) juuret olkoot 𝛼 ja 𝛽. Lausu summa 𝛼² + 𝛽² mahdollisimman yksinkertaisesti a:ssa ja b:ssä.

Syksy 1908

Juurten summa ja tulo

5. Määrää p ja q siten, että yhtälön (1) juuret ovat kaksinkertaiset yhtälön (2) juuriin verrattuina.

Syksy 1944 Lyhempi kurssi (Muokattu tehtävänanto)

p=0 ja q=-4

6. Määritä toisen asteen yhtälön kertoimet p ja q, kun yhtälön juuret ovat x₁ ja x₂

Kevät 2010

p=4 ja q=-2

7. Ratkaise yhtälön reaalijuuret

Syksy 2008

x=-0,44

8. Etsi viisi sellaista peräkkäistä kokonaislukua, että kolmen ensimmäisen luvun neliöiden summa on sama kuin kahden viimeisen luvun neliöiden summa. Kuinka monta tällaista lukuviisikkoa on olemassa?

Syksy 1996 Lyhyt

-2,-1,0,1,2 ja 10,11,12,13,14

Osion perustehtävät