Eksponentiaalinen malli
Mikäli jokin muuttuu yhtä monta prosenttia samassa ajassa, on muutos eksponentiaalista. Se voi olla kasvua, kuten eläinpopulaation kasvu tai säästötilin saldo, jolle maksetaan vuosittain korkoa tai se voi olla vähenemistä, kuten radioaktiivinen hajoaminen tai lääkkeen määrä elimistössä.
Esimerkki 1
Säästötilille tehdään 1000 € talletus. Talletukselle maksetaan 2,0 % vuosikorko.
Muodostetaan eksponentiaalinen malli kuvaamaan talletuksen määrää x vuoden kuluttua.
Vuodessa talletus tulee 1,02-kertaiseksi. Joka vuosi tilillä oleva raha kerrotaan luvulla 1,02
Muodostetaan funktio f, joka ilmaisee tilillä olevan rahamäärän x vuoden kuluttua.
Nyt voimme selvittää esimerkiksi kuinka paljon tilillä on rahaa 10 vuoden kuluttua
Tai kuinka monta vuotta kestää, että tilillä on 2000 €?
Kestäisi siis 35 vuotta, että tilin saldo olisi 2000€
Eksponentiaalinen kasvaminen tapahtuu monesti nopeasti todella suureksi.
Esimerkki 2
Liisa-Petteri sai töitä maatalouslomittajana vaikka hänellä ei ollut kokemusta juuri lainkaan. Asian ratkaisi palkkatoive. Hän pyysi ensimmäiseltä viikolta palkkaa 1 € ja seuraavalta 2 €. Hän pyysi, että palkka tuplaantuisi joka viikko kolmen kuukauden ajan. Tämän jälkeen se pysyisi samana. Eihän tuo ole juuri mitään, mietti työnantaja ja allekirjoitti sopimuksen.
Kuinka paljon Liisa-Petterin viikkopalkaksi lopulta tuli kolmen kuukauden jälkeen?
Ensimmäiseltä viikolta palkka on 1 € ja tuplaantumisia tapahtuu 12 kappaletta, jolloin palkka on
Euron lähtöpalkka muuttui 4096 € palkaksi vain kolmessa kuukaudessa. Tämähän oli viikkopalkka, joten kuukaudessa Liisa-Petteri sai 16384 €.
Esimerkki 3
Vereen imeytyneen kofeiinin määrä puolittuu noin 5 tunnissa. Yhdessä 1,5 l pullossa kolajuomaa on 195 milligrammaa kofeiinia. Kofeiini imeytyy nopeasti vereen ja maksimivaikutus on nähtävissä noin puolen tunnin kuluttua. Oletetaan, että puolen tunnin kuluttua koko 195 mg kofeiinia on veressä.
Kuinka paljon kofeiinia on veressä 10 tunnin kuluttua maksimivaikutuksesta?
Puolittumisia tapahtuu kymmenessä tunnissa kaksi, joten kofeiinia on jäljellä neljäsosa, eli 48,75 mg.
Kofeiinin puolittumista kuvaava malli olisi
Funktiossa t on aika maksimivaikutuksesta. 10 tunnin kuluttua
Funktion avulla voimme selvittää esimerkiksi kuinka kauan kestää, että kofeiinia on jäljellä alle 10 mg.
Katso miten tehtävä ratkaistaan.
Jotta kofeiinia on jäljellä alle 10 mg, kestää se noin 21 ja puoli tuntia.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. Hyttysten määrä oli kesätapahtuman alkaessa klo 16.00 noin 80, tuntia myöhemmin noin 120 ja klo 19.00 noin 270. Oletetaan, että hyttysten määrä noudattaa eksponentiaalisen kasvun mallia.
a) Arvioi mallin perusteella hyttysten määrää tilaisuuden päättyessä klo 20.00.
b) Mikä seuraavista lausekkeista kuvaa parhaiten hyttysten määrää, kun aikaa t mitataan tunteina tilaisuuden alusta lähtien:
Perustele vastauksesi.
Syksy 2018
a) noin 400
b) keskimmäinen
2. Iiris on löytänyt uuden autonsa arvon alenemista kuvaavan taulukon. Hän syöttää tiedot ohjelmaan, joka piirtää auton arvoa kuvaavat pisteet ajan funktiona yhden vuoden välein. Auton ostaminen tapahtuu taulukossa vuonna 0.
a) Selitä sanallisesti, millä tavalla auton arvo näyttää alenevan ajan funktiona.
b) Muodosta kaava, joka kuvaa sitä, miten taulukon lukuarvot on laskettu. Voit käyttää muotoa an = f(n) olevaa lukujonoa, kun an on auton arvo vuonna n.
c) Kuinka monen vuoden jälkeen auton ostamisesta sen arvo on kaavasi mukaan laskenut alle 2 000 euron?
a) Eksponentiaalinen väheneminen
b) an=4000∙0,8ⁿ
c) 14 vuoden jälkeen
3. Ravintoliuoksessa kasvatettavan bakteeripopulaation yksilömäärä N(t) kasvaa alapuolisen eksponentiaalisen mallin N(t) mukaisesti, kun aika t ilmoitetaan tunteina.
a) Mikä on populaation koko 24 tunnin kuluttua? Anna vastaus tuhannen bakteerin tarkkuudella.
b) Kuinka monta prosenttia populaatio kasvaa jokaisen tunnin aikana?
c) Kuinka monta tuntia kestää, että populaation koko ylittää miljoonan?
Kevät 2015 (muokattu)
a) 212 000
b) 25%
c) 31 h
4. Maalämpöpumppuja myyvän yrityksen liikevaihto kymmenkertaistui kahdessakymmenessä vuodessa. Kuinka monta prosenttia liikevaihto kasvoi vuodessa, kun vuotuinen kasvuprosentti pysyi koko ajan samana? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella.
Syksy 2013
12,2%
5. Radioaktiivisen näytteen aktiivisuudeksi mitattiin 25, 0 kBq ja viisi vuorokautta myöhemmin 16, 2 kBq. Laske puoliintumisaika ja näytteen aktiivisuus kymmenen vuorokautta ennen ensimmäistä mittausta. Radioaktiivisuus vähenee eksponentiaalisesti, ja puoliintumisaika on aika, jonka kuluessa aktiivisuus vähenee puoleen.
Kevät 2011
Puoliintumisaika noin 8 vuorokautta, aktiivisuus 10 vuorokautta aikaisemmin 59,5 kBq