Kertolaskusääntö

Satunnaisilmiöön liittyvät tapahtumat ovat erilliset, jos tapahtumilla ei ole yhtään yhteistä alkeistapausta.

Esimerkki 2. Lukiossa on 655 oppilasta joista 210 harrastaa liikuntaa, 135 musiikkia ja 355 ei harrasta liikuntaa eikä musiikkia. Millä todennäköisyydellä lukion oppilas harrastaa musiikkia ja liikuntaa?

Musiikkia ja liikuntaa harrastaa 355 + 210 + 135 - 655 = 45 oppilasta

Tiedot voidaan esittää ns. Venn-diagrammilla:

Vastaus: Oppilas harrastaa musiikkia ja liikuntaa noin todennäköisyydellä 0,069

Ehdollinen todennäköisyys tarkoittaa jonkin tapahtuman B todennäköisyyttä ehdolla, että tapahtuma A on jo tapahtunut. Sitä merkitään P(B|A). Olkoon P(A)>0. Tapahtuman B todennäköisyys ehdolla, että A on tapahtunut, on

kertolaskusääntöä kutsutaan myös “JA” - säännöksi, koska “JA” sana tarkoittaa kertolaskua todennäköisyyslaskennassa.

Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä saadaan johdettua toisistaan riippuvien tapahtumien kertolaskusääntö. Todennäköisyys, että molemmat A ja B tapahtuvat, on

Jos tiedämme, että tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia, niin

Esimerkki 4. Korttipakasta nostetaan kolme korttia ja kortteja ei nostojen jälkeen sekoiteta takaisin pakkaan.

a) Ovatko tapahtumat toisistaan riippumattomia

b) Millä todennäköisyydellä saadaan kolme herttaa peräkkäin?

c) Millä todennäköisyydellä saadaan kolme ässää peräkkäin?

a) Tapahtumat eivät ole toisistaan riippumattomia, koska edellisten korttien nostaminen pakasta vähentää pakassa olevien korttien määrää ja vaikuttaa seuraavien nostojen todennäköisyyteen.

Vastaus: Todennäköisyys saada kolme herttaa peräjälkeen, kun kortteja ei palauteta noston jälkeen pakkaan, on noin 0,013.

Esimerkki 5. Korttipakasta nostetaan kolme korttia ja jokaisen noston jälkeen kortti sekoitetaan takaisin korttipakkaan.

a) Ovatko tapahtumat riippumattomia?

b) Millä todennäköisyydellä saadaan kolme herttaa peräkkäin?

c) Millä todennäköisyydellä saadaan kolme ässää peräkkäin?

a) Tapahtuman ovat riippumattomia, koska kortti sekoitetaan aina takaisin pakkaan, eikä edelliset kortin nostot siten vaikuta seuraavien tapahtumien todennäköisyyksiin.

Vastaus: Todennäköisyys, että nostetaan kolme herttaa peräjälkeen, kun kortti palautetaan noston jälkeen pakkaan, on noin 0,016.

Tapahtuman A vastatapahtumalla tarkoitetaan jonkin satunnaisilmiön kaikkia muita alkeistapausia, kun tapahtumaa A. Sitä kutsutaan myös A:n komplementtitapahtumaksi, mitä merkitään . Tapahtuman A ja sen vastatapahtuman todennäköisyyksien summa on yksi, joten

Esimerkki 6. Kirjoita mikä on tapahtuman vastatapahtuma.

a) Tapahtuma A = “saadaan nopan heitolla 6”

b) Tapahtuma B = “saadaan nopan heitolla enintään 4”

c) Tapahtuma C = “ainakin yksi oppilas myöhästyy tunnilta”

Ratkaisu

a) Vastatapahtuma = “saadaan 5 tai vähemmän”

b) Vastatapahtuma = “saadaan 5 tai enemmän”

c) Vastatapahtuma = “yksikään oppilas ei myöhästy tunnilta”

Esimerkki 7.

Alma-Gunilla Heiskasen kotimatkan varrella töistä kotiin, on kaksi baaria. Alma-Gunillan puoliso Per-Ulf on listannut baarissa käynnit ja päätynyt seuraaviin riippumattomiin todennäköisyyksiin. Alma-Gunilla käy 10%:n todennäköisyydellä Pubissa ja 20%:n todennäköisyydellä Bistrossa.

a) Millä todennäköisyydellä Alma-Gunilla käy kotimatkalla molemmissa baareissa?

b) Millä todennäköisyydellä Alma-Gunilla ei käy kummassakaan baarissa kotimatkallaan?

c) Millä todennäköisyydellä Alma-Gunilla käy ainakin yhdessä baarissa kotimatkallaan?

Tehtävänannon perusteella tiedetään, että

P(“käy Pubissa”) = 0,10 P(“ei käy Pubissa”) = 1 - 0,10 = 0,90

P(“käy Bistrossa”) = 0,20 P(“ei käy Bistrossa”) = 1 - 0,20 = 0,80

a) Käy molemmissa baareissa

Vastaus: Noin 2% todennäköisyydellä Alma-Gunilla käy molemmissa baareissa.

b) Ei käy kummassakaan

Vastaus: Noin 72% todennäköisyydellä Alma-Gunilla ei käy kummassakaan baarissa

c) Tapahtuman “käy ainakin yhdessä” vastatapahtuma on “ei käy yhdessäkään”, joten

Vastaus: Alma-Gunilla käy kotimatkallaan ainakin yhdessä baarissa todennäköisyydellä 0,28.

Esimerkki 8. Erään firman myymistä tuotteista 2% on värivirheellisiä.

a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valituista kymmenestä tuotteesta yksikään ei ole värivirheellinen.

b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valituista kymmenestä tuotteesta ainakin yksi on värivirheellinen.

a) Tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia. Koska P(“virheellinen) = 0,02, niin P(“virheetön”) = 0,98 ja

Vastaus: Todennäköisyys saada kymmenen virheetöntä tuotetta on noin 0,82

b) “Ainakin yksi” -laskut on helpointa laskea vastatapahtuman avulla.

Vastaus: Todennäköisyys, että kymmenestä tuotteesta ainakin yksi on värivirheellinen, on noin 0,18.