Avaruusgeometria
Kulma avaruudessa
Esimerkki 1
Lasketaan suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän sekä pohjan välinen kulma.
Ensin tulee laskea pohjan lävistäjä. Se saadaan pythagoraan lauseella.
Vain positiivinen kelpaa, koska kyseessä on pituus. Nyt saamme muodostettu suorakulmaisen kolmion, jossa kateetit ovat pohjan lävistäjä sekä korkeus särmä ja hypotenuusa on avaruuslävistäjä.
Kokeile
Voit käännellä alla olevaa suorakulmaista särmiötä pitämällä hiiren vasemman painikkeen painettuna. Saat klikattua näkyviin pohjalle ja avaruuslävistäjälle muodostuvat suorakulmaiset kolmiot.
Lieriö
Lieriö on kappale, jonka pohjat ovat samanmuotoiset. Lieriön korkeus on kohtisuora etäisyys pohjien välillä. Lieriön vaippa avattuna muodostaa suorakulmion, jonka toinen sivu on korkeus ja toinen sivu pohjan piiri. Tilavuus saadaan kun kerrotaan pohjan pinta-ala korkeudella.
Lieriö on suora lieriö, jos sen akseli on kohtisuorassa pohjia vastaan.
Suoran ympyrälieriön pohja on ympyrä. Tällöin sen tilavuus ja vaipan ala saadaan seuraavasti.
Esimerkki 2
Suoran ympyrälieriön pohjan halkaisija on 20 cm ja korkeus 38 cm. Laske lieriön tilavuus litroina ja kokonaispinta-ala neliösenttimetreinä.
Koska 1 dm³ =1 l, muutetaan mitat desimetreiksi. 20 cm = 2 dm ja 38 cm=3,8 dm. Pohjan säde on 1 dm.
Tilavuus on siis 12 litraa.
Kokonaispinta-alaan kuuluu vaipan ala sekä kaksi pohjan alaa.
Mikäli lieriön pohjana on säännöllinen monikulmio, kutsutaan tätä särmiöksi. Esimerkissä 1 on lieriö, jonka pohja on suorakulmio. Tällöin se on suorakulmainen särmiö.
Kokeile
Voit käännellä alla olevaa suoraa ympyrälieriötä pitämällä hiiren vasemman painikkeen painettuna. Voit säätää pohjan sädettä ja lieriön korkeutta. Saat näkyviin tilavuuden ja vaipan alan laskut.
Kartio
Kartio on kappale, jonka pohjan reunoilta lähtevät sivujanat yhdistyvät samassa pisteessä. Kartion tilavuus on kolmososa vastaavakorkuisen lieriön tilavuudesta.
Kartio on suora, mikäli pohjan keskipiste on korkeusjanan toinen päätepiste.
Yleisin tarkastelun kohteena oleva kartio on suora ympyräkartio.
Kartion tilavuus
Suoran ympyräkartion vaippa tasoon avattuna muodostaa ympyräsektorin, jonka säteenä on kartion sivujana s. Haetaan sektorin ala. Sektorin kaaren pituus suhteessa koko ympyrän kaareen on yhtä suuri kuin pinta-alojen suhde.
Katkaistu kartio muodostuu kartiosta, jonka yläosasta on leikattu osa pois. Poistettu osa on yhdenmuotoinen vastaavan kokonaisen kartion kanssa.
Esimerkki 3
Suoran ympyräkartion pohjan halkaisija on 20 cm ja korkeus 50 cm. Laske kartion tilavuus ja vaipan ala.
Ratkaistaan sivujana s pythagoraan lauseen avulla.
Lasketaan tilavuus ja vaipan pinta-ala.
Pallo
Esimerkki 4
Helsingin sijainti on 60° pohjoista leveyttä. Kuinka kaukana päiväntasaajasta Helsinki sijaitsee? Maapallon ympärysmitta on noin 40 000 km. Kulma Helsingin ja päiväntasaajan välillä on siis 60°. Ratkaistaan vastaavan kaaren pituus. Merkitään kysytty etäisyys E.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Suorakulmaisen särmiön särmien suhdeluvut ovat 1, 1 ja 2. Särmiön koko pinnan ala on 14,4. Laske särmiön tilavuus.
Syksy 79
3,456
2. Kheopsin pyramidin pohja on neliö ABCD, jonka Sivun pituus on 233 m, Ja pyramidin kärki P on yhtä etäällä pisteistä A, B, C ja D. Pyramidin särmä AP muodostaa pohjan lävistäjän AC kanssa 42⁰ kulman. Laske pyramidin korkeus ja tilavuus kolmen numeron tarkkuudella.
Kevät 86
Korkeus 148 metriä, tilavuus 2 680 000 m³
3. Puun runkoa pidetään suorana ympyräkartiona. Puun korkeus on 14 m ja tyven läpimitta 24 cm. Vuodessa puu kasvaa pituutta 30 cm, ja sen tyven läpimitta suurenee 4 mm. Kuinka monta dm³ puun tilavuus tällöin kasvaa viidessä vuodessa?
Kevät 94
30%
4. Kuutio jaetaan kuuteenkymmeneenneljään keskenään samansuuruiseen kuutioon. Mikä on näin muodostuneiden pikkukuutioiden särmän pituus (cm), kun alkuperäisen kuution tilavuus oli 1,00 litraa?
Kevät 95
2,5 cm
5. Pallon tilavuus määritettiin upottamalla pallo nesteeseen, jolloin tilavuudeksi saatiin 1,52 ± 0,03 litraa. Missä rajoissa pallon halkaisija voi vaihdella?
Syksy 97
14,17 cm - 14,36 cm
6. Suoran ympyrälieriön muotoisessa 10,0 cm:n korkuisessa lasissa on mehua 6,5 cm:n korkeuteen. Lasiin upotetaan viisi pallon muotoista lasikuulaa, joiden halkaisija on 20 mm. Mehun pinta nousee tällöin 7 mm. Laske lasin pohjan halkaisija.
Syksy 09
6,2 cm
Osion perustehtävät